APPROFONDIMENTI DI MATEMATICA: FORMULE FOV estesa e FOV semplificata

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Nell’articolo precedente abbiamo visto come trovare la focale equivalente usando il fattore di crop: nella fotografia tradizionale infatti ad ogni obiettivo corrisponde un determinato angolo di campo, che combinato al fattore di crop ci restituisce la focale da usare per ripristinare la “visuale” che avremmo con una full frame. Una bella comodità non trovate? Ma come dobbiamo comportarci per impostare i valori giusti se dobbiamo scegliere da zero un nuovo  setup astrofotografico? Sappiamo infatti che questa branca della fotografia offre una scelta davvero ampia in termini di sensori, passando dai grossi formati per il deep sky a quelli piccolissimi per le riprese planetarie. Idem per le focali: si può passare dai 500mm per la fotografia a largo campo ai diversi metri per l’alta risoluzione. In tal caso la formula da applicare per conoscere il FOV è questa:

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Non proprio comoda vero? La fortuna però ha voluto che questa branca della fotografia utilizzi visuali talmente piccole da rendere irrilevanti parametri come il seno e la tangente di un angolo, permettendoci di sfoltire il formulone che abbiamo appena visto  ed ottenendo un risultato attendibile con la semplice formula:

Una semplificazione matematica così drastica è resa possibile dalla teoria dell’approssimazione per angoli piccoli di Taylor-MacLaurin che ci consente di omettere il valore di tangente e sostituirlo con l’angolo espresso in radianti (Analisi 1 in Ingegneria – chi ha sostenuto da poco questo esame mi corregga se sbaglio). Infatti la tangente di angoli piccoli è del tutto simile al valore stesso dell’angolo espresso in radianti. Una bella fortuna per noi astrofili!!! Dopo aver approfondito la questione ho scoperto che tale sistema produce un errore totalmente irrilevante fino ad alcuni valori di FOV. A questo punto una domanda mi si è insinuata in testa facendomi arrovellare il cervello: “fino a quali valori questo errore (differenza) è davvero trascurabile?” Questa domanda è il motivo principale che mi ha spinto ad analizzare a fondo il problema prima, e a scrivere questo articolo poi. Beh, la risposta che mi sono dato è che dipende dalla precisione che vogliamo ottenere nelle misurazioni e a quale campo applico questa linearizzazione della funzione. Per farmi un’idea mi sono voluto dare un limite entro il quale reputare buona la formula semplificata, prendendo come riferimento le dimensioni di stampa della mia fotocamera asi 294MC che con i suoi 4144  pixel di lato mi permette stampe fotografiche da 35.1cm. Ho valutato come accettabile un errore non superiore ai 4mm (2mm per lato), che corrispondono all’1,14% di tutta l’immagine ed ho deciso che discostamenti superiori a questo valore non li avrei accettati. Dalla tabella che ho creato su excell e che inserisco qua sotto [fig.1] si può notare come tale errore si generi solo se scendo sotto i 50 mm di focale, ma direi che ho parecchio margine e difficilmente userò la formula semplificata per setup che prevedono focali di questo tipo. Come me tanti altri astrofotografi non necessitano di focali così corte ed ecco perchè in campo astronomico si usa solo la formula semplificata. In via più generale, e per una maggior comprensione dell’argomento, si può dire che un errore oltre l’1,14 % si ottiene per angoli che superano i 20 – 21 gradi (lascio disponibile il download del file excell così che lo possiate usare anche voi per inserire i dati dei vostri set-up). Per capire a fondo la questione vediamo come cresce il valore di tangente rispetto all’angolo alfa [fig.2]. La sua crescita, essendo una funzione trigonometrica, è esponenziale, a differenza di alfa che aumenterà in modo lineare. La differenza tra i due è particolarmente evidente per valori prossimi ai 90°, infatti al valore di 89,9°la tangente è quasi infinita. La fig.3 mette in evidenza questa relazione.

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Scarica la tabella cliccando sotto:

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FATTE TUTTE LE DOVEROSE PREMESSE…….

…….. ora possiamo proseguire con la dimostrazione vera e propria, ma prima dobbiamo fare un passo indietro e ripartire dalla lezione sulla lunghezza focale. Recuperiamo gli schemi ottici visti in precedenza:

L’immagine rappresenta un riflettore ed un rifrattore. Gli schemi sono identici ma speculari. Ribaltando verso sinistra la focale della lente otteniamo lo schema di un riflettore newtoniano (per semplificazione ho omesso lo specchio sendario). Assodato questo, ora possiamo concentrarci solo sullo schema del rifrattore: posizioniamo un sensore con altezza H sul piano di fuoco e facciamo cadere i due punti A e B agli estremi di questo sensore ( H può essere anche la base o la diagonale del sensore ). Alfa sarà l’angolo massimo che riuscirà ad inquadrare il mio sensore. Analizzando il triangolo formato tra A, B ed O [ Fig.5 ] possiamo dire che la tangente di α/2 coincidere con mezza altezza del nostro sensore.

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Abbiamo detto che il valore di tangente (che corrisponde ad H/2) per angoli piccoli è simile all’angolo α espresso in radianti. Questo è un punto fermo ed è misurabile…. e per noi è una gran fortuna! Quindi, per quanto detto sopra, potremo omettere il valore << tan α >> e sostituirlo con << α Rad >>.

Ecco il risultato:

Essendo piccolo l’angolo preso in esame possiamo ulteriormente semplificare in questo modo:

Questo è vero per circonferenze di raggio unitario, ma siccome il raggio della nostra circonferenza corrisponde alla nostra focale potremmo scrivere:

Per cui otteniamo la formula definitiva:

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Se l’angolo di FOV è grande e non si può applicare l’approssimazione lo sviluppo della formula sarà il seguente:

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ORA STA A NOI VALUTARE LA PRECISIONE DELLE NOSTRE MISURAZIONI E DECIDERE QUANDO USARE L’UNA O L’ALTRA.